Dreidimensionale Simulation der Klangerzeugung
 der Flöte mit der Lattice Boltzmann Methode

Um die Klangerzeugung bei Flöteninstrumenten (Quer- und Blockflöten) und labialen Orgelpfeifen zu untersuchen, werden Strömungsdynamik und Akustik mit der dreidimensionalen MRT Lattice Boltzmann Methode (LBM) [1] simuliert. LBM simuliert die Dynamik eines idealen, isothermen Gas bei niedrigen Machzahlen einschließlich der Akustik.

Für erste Simulationen wurde eine kleine gedackte blockflötenartige Pfeife verwendet:

 

Abmessungen der Pfeife: 60 x 10 x 10 mm
Abmessungen des Windkanals: 15 x 7 x 1.5 mm
Abstand Strahlauslaß – Labium: 7 mm
Winkel des Labiums: 14°

Zur numerischen Stabilisierung der Simulation musste eine Viskosität gewählt werden, die etwa 6mal höher als die von Luft ist. Um einen Luftstrahl zu erhalten, der dem einer Blockflöte ähnelt, muss die Geschwindigkeit des Luftstrahls ebenfalls versechsfacht werden und liegt in der Strahlmitte bei 35 m/s.

Ergebnisse

Einschwingvorgang und stationärer Zustand

Luftdichte:
rot: innen, nahe des gedackten Ende der Pfeife: 160 dB Schalldruckpegel
blau: außen, 5 cm entfernt vom Mund der Flöte: 130 dB Schalldruckpegel

Da die Geschwindigkeit im Windkanal sehr rasch ihr Maximum erreicht, und der Luftstrahl rasch das Labium trifft, bildet sich in kurzer Zeit eine stationäre Schwingung in der Flöte aus.

Bewegung des Luftstrahls während der Strahlbildung und der stationären Schwingung
(Video)

Der Luftstrahl in der Flöte wird als Fläche gleicher Geschwindigkeit dargestellt. Während der Animation wird in den Strahl "hineingezoomt":
von blau (30% der maximalen Strahlgeschwindigkeit) nach rot (60% der maximalen Strahlgeschwindigkeit).
(Dieses Video ist 3.5 MB groß und benötigt einen DivX-Codec.)

Klangspektrum

Klangspektren
rot: innen, nahe des gedackten Ende der Pfeife
blau: außen, 5 cm entfernt vom Mund der Flöte

Um das Verhältnis der Harmonischen besser vergleichen zu können, wurden die Klangspektren des abgestrahlten Klangs (blau) und des Klangs am gedackten Ende der Flöte (rot) normiert. Höhere Harmonische werden stärker abstrahlt, und in der Pfeife bildet sich eine stehende Welle aus, die primär von der Grundfrequenz bestimmt wird. Der Strahl regt die stehende Welle in der Pfeife mit einem Spektrum an, das alle Harmonischen enthält. Daher sind – wenngleich auch durch die gedackte Pfeife stark gedämpft – auch ganzzahlige Harmonische im Klang zu finden.

Klangerzeugung: Abhängigkeit von der Form des Labiums

Um zu untersuchen, ob die Lattice Boltzmann Methode in der Lage ist, kleine Unterschiede in der Geometrie zu simulieren, wurde zusätzlich zur Pfeife mit scharfem Labium eine mit abgerundetem Labium simuliert. Es zeigt sich, dass das scharfe Labium etwas größere Amplituden der Obertöne produziert als das abgerundete Labium. Allerdings ist der Effekt aufgrund der grundtonlastigen Resonanz der Pfeife nicht besonders ausgeprägt.

                   

scharfes Labium                        rundes Labium

Normierte Spektren des abgestrahlten Klangs:
rot: scharfes Labium, blau: rundes Labium

Kopplung des Strömungsfelds des Strahls mit dem Schallfeld der stehenden Welle in der Flöte

Der Luftstrahl kann als Anordnung zweier paralleler Scherschichten betrachtet werden. Diese bilden ein Wirbelfeld, das mit dem Schallfeld der stehenden Welle im Mund der Flöte in Wechselwirkung steht. Nach der Wirbelschall-Theorie von Howe und Doak wird in einer Schwingungsperiode sowohl Rotationsenergie des Wirbelfelds in Schall umgewandelt, also Schall erzeugt und als auch umgekehrt dem Schallfeld Energie entzogen, daher Schall absorbiert.

Schallerzeugung und -absorption durch strömungs-akustische Wechselwirkung:
rot: Bereiche, die als Schallquelle wirken, blau: Bereiche, in denen Schall absorbiert wird.
(Dieses Video ist 9 MB groß und benötigt einen DivX-Codec.)

Energietransfer, über eine Schwingungsperiode gemittelt
rot: Bereiche, die als Schallquelle wirken, blau: Bereiche, in denen Schall absorbiert wird.
Es kommt zu einem Überschuss an akustischer Leistung, die abgestrahlt wird.

[1]    D. d'Humières, I. Ginzburg, M. Krafczyk, P. Lallemand, and L.-S. Luo, Multiple-relaxation-time lattice Boltzmann models in three-dimensions, Philosophical Transactions of Royal Society of London A 360(1792):437-451 (March 2002).

05.02.2005 - Kontakt: Helmut Kühnelt