Simulation von Blechblasinstrumenten

(Paul Anglmayer)

Literatur

Grundlagen des Computermodells

Das in BIAS integrierte Computermodell zum physical modelling beruht auf elektrotechnischen Analogien die in der Akustik häufig Verwendung finden. Das Instrument wird dabei wie eine verlustbehaftete elektrische Leitung behandelt. Der Schalldruck entspricht der Spannung und der Schallfluß dem Strom. Thermoviskose Verluste werden durch entsprechende (komplexe) Widerstände berücksichtigt. Die Leitung wird mit einer Abschlußimpedanz (Z_t) abgeschlossen die, wie bei einem realen Instrument, zu einer teilweisen Reflexion der Wellen führt.

Für die rechnerische Behandlung wird die Mensur des Instruments durch eine Folge von konischen und zylindrischen Teilstücke dargestellt. Die akustischen Übertragungseigenschaften dieser einfachen Elemente lassen sich exakt durch frequenzabhängige (f) Matrizen (A_i(f)) angeben -zur genauen Form der Matritzen siehe [5].

Abb. 1: Aufteilung einer Trompetenmensur in kleine Elemente

Druck (p) und Schallfluß (u) vor und nach dem i-ten Element hängen über

zusammen.

Die Impedanz (Z_i) an der Stelle i folgt aus

Das Übertragungsverhalten des vollständigen Instruments erhält man aus dem Produkt der Teilmatrizen.

Zur Berechnung der Eingangsimpedanz wird diese Produktbildung, ausgehend von einer gegebenen Abschlußimpedanz, von hinten nach vorne durchgeführt.

Abb. 2:  Mit BIAS simulierte Impedanzkurve einer B-Trompete

Beschränkungen des Modells

Mögliche Fehlerquellen bei der Rechnung sind:

	Fehler bei der Messung des Mensurverlaufs
	die Annahme Kreisförmigen Querschnitts der Mensur
	die Einschränkung, daß nur die Grundmode der Welle betrachtet wird.

Im Fall eines zylindrischen Rohres mit exakt bekannter Geometrie folgt aus diesen Einschränkungen eine Zuverlässigkeit des Computermodells in einem Frequenzbereich von

d ist der maximale Rohrdurchmesser [m] und c die Schallgeschwindigkeit [m/s].

Bei komplizierteren Mensurverläufen, wie sie bei Blechblasinstrumenten vorliegen, sind 60-80 % des obigen Wertes realistisch.

Tab.1.: Gültigkeitsbereich der Rechnung laut Formel für verschiedene Durchmesser mit c=345m/s

Innerhalb der genannten Grenzen kann die Lage der Resonanzspitzen mit einer durchschnittlichen Abeichung von unter 0.6 % (10 Cent) berechnet werden.

Die Höhe der Resonanzspitzen läßt sich mit einem Fehler von 15-25% bestimmen.

Vergleich Messung-Rechnung

Wenn berechnete und gemessene Impedanzkurven verglichen werden ist Folgendes zu beachten:

	Die Rechnung geht von einer Schallgeschwindigkeit c=345m/s aus. Das entspricht einer Temperatur von 23.6° Celsius. Wenn die Messung bei einer davon abweichenden Temperatur durchgeführt wird, ergibt sich eine andere Grundstimmung des Instruments.
	Beim Meßsystem BIAS wird das Hineinragen der Bläserlippen in das Mundstück durch eine Gummischeibe, die das Volumen des Mundstucks reduziert berücksichtigt. Für die Rechnung müssen daher die ersten 2 mm des Mensurverlaufes weggelassen werden.

[1] Caussé René et. al.: "Input impedance of brass musical instruments-Comparson between experiment and numerical models", J. Acoust. Soc. Am. 75(1), S 241 ff, 1984

[2] Keefe Douglas H.: "Acoustical wave propagation in cylindrical ducts: Transmission line parameter aproximations for isothermal and nonisothermal boundery conditions", J. Acoust. Soc. Am. 75(1), S 58 ff, 1984

[3] Lampton M.: "Transmission Matrices in Electroacoustics", Acustica 39, S 239 ff, 1978

[4] Levine Harald / Schwinger Julian: "On the Radiation of Sound from an Unflanged Circular Pipe", Physical Review 73(4), S 383 ff, 1948

[5] Mapes-Riordan Dan: "Horn Modeling with Conical and Cylindrical Transmission-Line Elements", J.Audio Eng. Soc. 41(6), S 471 ff, 1993